绵阳市高2012级第三次诊断性考试文科数学答案

绵阳市高2012级第三次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

BCBAC  DCACB

10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．

设AB中点为 ，于是 ．

∴ 可设直线 的方程为 ，

联立方程：  消去 得： ，

∴ y₁+y₂=2t，y₁y₂=2t²-8，

∴

由 ，得 ，

令 时，得 ，

∴ ，

于是S_△MAB ．

令 ，则 ，

∴ 当 时， (S_△MAB)_max=8，此时 ．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．4           12．         13．208              14．6             15．②③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)由题意有

，

解得 ．

∵ 低于60分的频率为 ，

∴ 被抽查的学生有 人，即n=20．  ………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 分数组的学生有 人， 分数组的学生有4人，

记这6人分别为 、 ， 、 、 、 ( 、 表示不同分类组)，

从中随机选取2人，不同的选法有：

、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共15种，    ………………………………9分

2人在同一分数组的选法有：

、 、 、 、 、 、 共7种，   ………………11分

∴ 2人在同一分数组的概率 ．     ……………………………………12分

17．(Ⅰ) 证明：连接B₁C交BC₁于O，连接OD．

∵ O，D分别为B₁C与AC的中点，

OD为△AB₁C的中位线，

 OD//AB₁．

又∵ AB₁ 平面BDC₁，OD 平面BDC₁，

∴  AB₁//平面BDC₁．     ………………………………………………………5分

（Ⅱ）解：连接A₁B，作BC的中点E，连接DE，如图．

∵ A₁C₁=BC₁，∠A₁C₁B=60º，

A1

B1

C1

C

B

A

D

O

E

∴ △A₁C₁B为等边三角形．

∵ 侧棱BB₁⊥底面A₁B₁C₁，

∴ BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥B₁C₁，

∴ A₁C₁=BC₁=A₁B= = ．………7分

∴ 在Rt△BB₁C₁中，B₁C₁= =2，

于是，A₁C₁²= B₁C₁²+A₁B₁²，

∴ ∠A₁B₁C₁=90º，即A₁B₁⊥B₁C₁，

∴ A₁B₁⊥面B₁C₁CB．

又∵ DE//AB//A₁B₁，

∴ DE⊥面B₁C₁CB，即DE是三棱锥D-BCC₁的高．……………………9分

∴  = = = ．

∴

= ．  ……………………………………………………………………12分

18．解：(Ⅰ) 由图象知， ，故 ，

，即 ，于是由 ，解得 ．

∵ ，且 ，

解得 ．

∴ ． …………………………………………………4分

由 ≤ ≤ ， ，

解得 ≤x≤ ， ，

即 在R上的单调递增区间为 ．………………6分

(Ⅱ)由条件得： ，即 ．

∵ 且 在 上是增函数，

     >0， >0， 在 上是减函数，

∴ ，

∴ ， …………………………………………………………9分

∴ ， …………………………………10分

∴

． …………………………………………………………12分

19．解：(Ⅰ)设数列{a_n}公差为d，

由题设得   解得

∴ 数列{a_n}的通项公式为： (n∈N*)． ………………………………5分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知： …………………………………6分

①当 为偶数，即 时，奇数项和偶数项各 项，

∴

  ；   ………………………9分

②当 为奇数，即 时， 为偶数．

∴ ．

综上：  …………………………12分

20．解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，则c=1．

又由e= ，可解得a= ，

∴ b²=a²-c²=2，

∴ 椭圆的标准方程为 ．……………………………………………3分

(Ⅱ) 设过焦点F₁的直线为l．

①若l的斜率不存在，则A(0，- )，B(0， )，即|AB|=2 ，

显然当N在短轴顶点(0， )或(0， )时，△NAB面积最大，

此时，△NAB的最大面积为 ．……………………………5分

②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为 ．

设 ．

联立方程： 消去 整理得： ，

∴  ， ，

则 ．…………………………………………7分

∵ 当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，

设切线 ，

联立 消去 整理得： ，

由 ，

解得： ．………………………………………………9分

又点 到直线 的距离 ，

∴ ，

∴ ．………………………………………………10分

将 代入得： ．

令 ，设函数 ，

则 ，

∵ 当t∈ 时， >0，当t∈ 时， <0，

即 在 上是增函数，在 上是减函数．

∴ ，

故 时，△NAB面积最大值是 ．…………………………………12分

显然 ，

∴ 当l的方程为 时，△NAB的面积最大，最大值为 ．

……………………………13分

21．(Ⅰ) 解：∵ ，

∴ ．

又 ，

∴ 在点 处的切线方程为： ，即 ．

                                                                   ………………………………3分

(Ⅱ) 解： = ，

∴ ，

由 解得 ，由 解得 ，

∴ 函数 的单增区间是 ，函数 的单减区间是 ．

                                                                …………………………………6分

(Ⅲ)证明：由 ≤ 可变为 ≤0．

令 ， ，则 ．

由 可得 ，由 可得 ，

所以 在 单调递减，在 单调递增．………………………7分

根据题设知： ，可解得 ．

①若 ≤ ，即 时，

∵ 在 单调递减，

∴ ≤0，

即 ≤0对 恒成立．

令 ， ≤0，

则 ，即 在 上是减函数；

则 ，

所以对任意 ， ≤0成立．……………………10分

②当 ，即 时，

当且仅当 ≤0，即 ≥e，此时 ．

                                    ……………………………………………………11分

③当 ≥ 时， 即 时，

∵ 在 上单调递减，

∴ ≤0，

令 ，即 ≤0恒成立．

因为 ，所以 在 上是减函数，

故存在无数个 ，使得 ，

如取 与 ≤0恒成立矛盾，此时不成立．

综上所述，e≤ <7．…………………………………………………………14分