绵阳市高2012级第三次诊断性考试理科数学答案

绵阳市高2012级第三次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DCBCD  AABCB

10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．

设AB中点为 ，于是 ．

∴ 可设直线 的方程为 ，

联立方程：  消去 得： ，

∴ y₁+y₂=2t，y₁y₂=2t²-8，

∴

由 ，得 ，

令 时，得 ，

∴ ，

于是S_△MAB ．

令 ，则 ，

∴ 当 时， (S_△MAB)_max=8，此时 ．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．4           12．         13．2.02             14．6             15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ) 随机变量ξ的可能取值分别是：0，m，3m，6m元．

∴ ； ；

； ；

ξ的分布列为：

ξ	0	m	3m	6m
P

         ………………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得： ， …………9分

若要使促销方案对商场有利，则 <100，解得m<75．

即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m应低于75元．…12分

P

A

B

C

D

E

F

y

x

z

17．(Ⅰ) 证明：∵ PA⊥底面ABCD，AE 底面ABCD，

∴ AE⊥PA． …………………………………1分

∵ 四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60º，

∴ △ABC为等边三角形，

又 E是 BC中点，则AE⊥BC，

由BC//AD，得AE⊥AD．……………………3分

又∵ PA∩AE=A，

∴ AE⊥平面PAD，

又PD 平面PAD，

∴ AE⊥PD．  …………………………………5分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

设PA=AB=2，则A(0，0，0)，E( ，0，0)，C( ，1，0)，F( ， ，1)，

∴ =( ，0，0)， =( ，1，0) ， =( ， ，1)．…………7分

设平面EAF的法向量为n₁=(x₁，y₁，z₁)，

则  即 令z₁=1，可得n₁=(0，-2，1)．…9分

设平面ACF的法向量为n₂=(x₂，y₂，z₂)，

则  即 令x₂= ，可得n₂=( ，-3，0)．

                   ……………………………………………………………………11分

设二面角E-AF-C的平面角为 ，则 ，

又由图可知 为锐角，所以二面角E-AF-C的余弦值为 ．…………12分

18．解：(Ⅰ) 由图象知， ，故 ，

，即 ，于是由 ，解得 ．

∵ ，且 ，

解得 ．

∴ ．…………………………………………………4分

由 ≤ ≤ ， ，

解得 ≤x≤ ， ，

即 在R上的单调递增区间为 ．………………6分

(Ⅱ)由条件得： ，即 ．

∵ 且 在 上是增函数，

     >0， >0， 在 上是减函数，

∴ ，

∴ ，…………………………………………………………9分

∴ ， …………………………………10分

∴

． …………………………………………………………12分

19．解：(Ⅰ)设数列{a_n}公差为d，由题设得     ……………………2分

即   解得

∴ 数列{a_n}的通项公式为： (n∈N*)．  ………………………………4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知： …………………………………5分

①当 为偶数，即 时，奇数项和偶数项各 项，

∴

  ；   ………………………7分

②当 为奇数，即 时， 为偶数．

∴ ．

综上：  ……………………………9分

(Ⅲ) ，

令 ，由此 >10转化为 ，

∵ ≥1(当且仅当t=1时“=”号成立)，

∴ ．

∵ ， ．

∴ ≥6，解得n≥ ，

∴ 当n≥4，n∈N*时， >10．…………………………………………12分

20．解：(Ⅰ)在△ABC中，根据正弦定理得 ，

即 ( )，

∵ AB=2，

∴ (定值)，且 ，

∴ 动点 的轨迹 为椭圆(除去与A、B共线的两个点)．   ………………3分

设其标准方程为 ，

∴ a²= ，b²= -1，

∴ 所求曲线的轨迹方程为 ． …………………………5分

(Ⅱ) 时，椭圆方程为 ．

①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值．…………………6分

②过定点B的直线不与x轴重合时，

设l方程为： ， ，

若m=0，因为 ，故此时△NPQ面积无最大值． ……………………7分

根据椭圆的几何性质，不妨设 ．

联立方程： 消去 整理得： ，

∴  ， ，

则 ．………………………………………9分

∵ 当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，

设切线 ，

联立 消去 整理得： ，

由 ，

解得： ．

又点N到直线l的距离 ，

∴ ，

  ．…………………………………………………11分

将 代入得： ，

令 ，设函数 ，

则 ，

∵ 当t∈ 时， >0，当t∈ 时， <0，

∴ 在 上是增函数，在 上是减函数，

∴ ．

故 时，△NPQ面积最大值是 ．…………………………………13分

21．解：(Ⅰ) = ，

∴ ，

由 解得 ，由 解得 ，

∴ 函数 的单增区间是 ，函数 的单减区间是 ．

                                    ………………………………………………………3分

(Ⅱ)由 ≤ 可变为 ≤0．

令 ， ，则 ．

由 可得 ，由 可得 ，

所以 在 单调递减，在 单调递增．………………………6分

根据题设知： ，可解得 ．  …………………………7分

①若 ≤ ，即 时，

∵ 在 单调递减，

∴ ≤0，

即 ≤0对 恒成立．

令 ， ≤0，

则 ，即 在 上是减函数；

则 ，

所以对任意 ， ≤0成立．……………………10分

②当 ，即 时，

当且仅当 ≤0，即 ≥e，此时 ．

                                    ……………………………………………………11分

③当 ≥ 时， 即 时，

∵ 在 上单调递减，

∴ ≤0，

令 ，即 ≤0恒成立．

因为 ，所以 在 上是减函数，

故存在无数个 ，使得 ，

如取 与 ≤0恒成立矛盾，此时不成立．

综上所述， 的取值范围是 ．………………………………………14分